Trò chơi của Diophantus

Jun 27, 2024

Đây là câu chuyện về một trò chơi kéo dài 1.800 năm, bắt đầu từ một người Hy Lạp sống ở thế kỷ thứ hai.

Tên của ông ấy là Diophantus. Sử sách không có nhiều thông tin về nhân vật này. Các sử gia đã tốn nhiều giấy mực bàn cãi về lai lịch của ông ấy.

Chúng ta chỉ biết Diophantus thích làm toán. Ông ấy viết nhiều sách toán và một số cuốn còn lưu truyền đến tận ngày nay.

Không ai biết vì sao, nhưng Diophantus thích giải phương trình hai ẩn số. Có lẽ Diophantus giải phương trình để giải trí, cho vơi bớt cái tẻ nhạt của cuộc sống hàng ngày. Thời đó chắc chưa có TikTok.

Nào ai ngờ, 18 thế kỷ sau, những bài toán Diophantus làm cho vui lại tạo thành cơ sở toán học cho những công nghệ bảo vệ mạng Internet toàn cầu.

Mỗi khi bạn gửi email, trò chuyện hay mua sắm qua Internet, thông tin của bạn được bảo vệ bởi những thuật toán mật mã dựa vào đường cong elliptic (Elliptic Curve Cryptography, từ đây viết tắt là ECC). ECC được phát minh vào cuối thế kỷ 20, nhưng có một sợi chỉ cho thấy mọi thứ khởi nguồn từ Diophantus.

Diophantus quan tâm đến những câu hỏi chẳng hạn như: Tìm các cặp số hữu tỉ (x, y) sao cho x² + y² = 1. Câu hỏi của Diophantus tương đương với tìm các điểm hữu tỉ trên đường tròn. Ngoài đường tròn, Diophantus muốn tìm điểm hữu tỉ trên nhiều loại đường cong.

Diophantus viết một bộ sách lừng danh mang tên Arithmetica (Số học), gồm 13 cuốn, để bàn về những câu hỏi như vầy. Số phận những cuốn sách này gắn liền với lịch sử toán học thế giới.

Bí kíp thất lạc

Bộ sách Arithmetica được cất giữ ở thư viện Alexandria. Trải qua nhiều biến động lịch sử, thư viện Alexandria nhiều lần bị đốt phá. Arithmetica bị thất lạc, dần rơi vào quên lãng.

Trong một ngàn năm tiếp theo, Arithmetica chỉ tái xuất hiện vài ba lần. Sáu cuốn trong bộ 13 cuốn bằng tiếng Hy Lạp nguyên thủy tái xuất hiện ở Châu Âu trong kỷ phục hưng. Bốn cuốn trong một bộ đã được dịch ra tiếng Ả Rập được phát hiện vào năm 1968 trong một ngôi đền ở Iran. Những cuốn còn lại đã vĩnh viễn biến mất.

Arithmetica chính thức trở lại với dòng chảy toán học thế giới vào năm 1572, khi 143 bài toán của Diophantus bất ngờ xuất hiện trong cuốn “Algebra” của Bombelli, một giáo sư ở Đại học Bologna. Một người bạn của Bombelli đã phát hiện sáu cuốn Arithmetica trong thư viện Vatican.

Bạn có thể tưởng tượng trong lúc thư viện Alexandria đang bốc cháy dữ dội, ai đó đã cố gắng cứu những cuốn sách quý nhất. Họ quơ vội trên kệ sách được sáu cuốn Arithmetica, đưa lên thuyền, vượt Địa Trung Hải, bỏ vào thư viện Vatican, để rồi chúng ngủ yên ở đó trong một ngàn năm tiếp theo.

Chuyện gì đã có thể xảy ra nếu loài người phát hiện những cuốn sách này sớm hơn? Có thể nào chúng ta đã phát triển một ngàn năm hơn so với hiện tại? Đây là những câu hỏi ám ảnh mà giáo sư Dan Boneh ở Đại học Stanford đã đặt ra, khi bàn về việc bảo tồn tri thức nhân loại.

Định lý cuối cùng

Sáu cuốn sách còn sót lại của Diophantus được dịch ra tiếng Latin lần đầu vào thế kỷ 16. Trải qua nhiều bản dịch khác nhau, đến thế kỷ 17, một bản dịch của Bachet đến tay Fermat, để rồi vị luật sư người Pháp cũng làm toán cho vui đã khai sinh ra số học, bà chúa của toán học.

Chính bên lề cuốn Arithmetica của mình, Fermat đã viết những dòng chữ ám ảnh thế giới trong suốt hơn ba trăm năm:

Nhưng không thể nào chia một số mũ ba thành tổng hai số mũ ba, một số mũ bốn thành hai số mũ bốn, hoặc nói chung, đến vô cùng, bất kỳ số mũ nào cao hơn bình phương thành hai số mũ cùng bậc. Tôi đã tìm được một chứng minh kỳ diệu cho sự thật này, nhưng lề sách này chật quá không đủ chỗ để ghi lại.

Đây chính là phát biểu lừng danh mang tên Định lý cuối cùng của Fermat. Định lý này được mệnh danh là con gà đẻ trứng vàng của toán học, vì các nỗ lực chứng minh đã tạo ra nhiều loại toán mới. Nói cách khác, trong lúc chơi trò chơi của Fermat, người ta đã nghĩ ra nhiều trò hay khác.

Mặc dù thu hút sự chú ý của những bộ óc toán học vĩ đại nhất, định lý Fermat chỉ được Andrew Wiles và Richard Taylor chứng minh vào năm 1995. Điều thú vị là chứng minh của Wiles và Taylor lại dựa vào elliptic curve, vốn khởi nguồn từ Diophantus. Như vậy chúng ta đã đi một vòng tròn, từ Diophantus đến Fermat, Wiles và Taylor để rồi quay lại Diophantus. Sợi dây liên kết tất cả chính là elliptic curve.

Những đường cong cong

Arithmetica chủ yếu bàn về những bài toán mà ngày nay chúng ta xem là đơn giản. Nhưng nếu đọc kỹ bạn sẽ thấy một bài toán rất khác so với phần còn lại: Bài toán số 24 trong cuốn số IV.

Trong bài toán này Diophantus muốn tìm các điểm hữu tỉ (x, y) thỏa mãn biểu thức y² = x³ - x + 9. Ngày nay chúng ta biết biểu thức này biểu diễn một elliptic curve. Gọi đường cong này là E.

Dễ thấy sáu điểm nằm trên E: (0, 3), (0, -3), (1, 3), (1, -3), (-1, 3), (-1, -3). Câu hỏi của Diophantus vẫn là: còn điểm nào không?

Đây là một bài toán không đơn giản, ngay cả với tiêu chuẩn ngày nay. Nhưng, bằng một loạt các biến đổi tài tình, Diophantus tìm thêm được điểm (-17/9, -55/27).

Phải mất 1.500 năm người Trái Đất mới hiểu cơ sở toán học của những phép biến đổi mà Diophantus thực hiện để giải bài toán 24. Đến thế kỷ 17, Bachet và Fermat đưa ra công thức đại số để “nhân đôi” một điểm, còn Newton chỉ ra cơ sở hình học tuyệt đẹp của các phép biến đổi này.

Mặc dù Diophantus dừng lại khi tìm được điểm đầu tiên, phương pháp của ông ấy có thể giúp tìm được thêm vô số điểm khác.

Câu hỏi hiển nhiên tiếp theo là: phương pháp Diophantus có giúp tìm được tất cả điểm hữu tỉ hay không? Phải đến đầu những năm 1900, với sự dẫn dắt của Euler, Jacobi, Abel, Gauss, Poincare, Mordell, chúng ta mới trả lời được câu hỏi này.

Trải qua mấy trăm năm nghiên cứu với rất nhiều ý tưởng đột phá, ngày nay chúng ta biết rằng tập hợp các điểm trên đường cong elliptic tạo thành một cấu trúc toán học gọi là nhóm Abel. Chỉ có đường cong bậc ba mới có tính chất này. Tập hợp các điểm trên đường cong bậc hai hay bậc cao hơn ba không tạo thành một nhóm.

Trong thế kỷ 20, lý thuyết elliptic curve trở thành đề tài nghiên cứu chính của toán học thế giới. Những nhánh chính của toán học như số học, đại số, hình học, giải tích gặp nhau ở elliptic curve, giao thoa tạo ra những kết quả rực rỡ.

Một trong những đỉnh cao là chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat, như đã kể. Ngoài ra, giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer (BSD) về kích thước nhóm các điểm hữu tỉ trên elliptic curve là một trong bảy bài toán thiên niên kỷ. Nếu giải được, bạn sẽ được thưởng 1 triệu USD. Tôi đã thử và thấy có lẽ có nhiều cách kiếm tiền dễ hơn.

Ngoài những đột phá lý thuyết, cuối thế kỷ 20 còn chứng kiến những ứng dụng cực kỳ hữu ích của elliptic curve. Những gì Diophantus và bao nhà toán học theo đuổi trong hàng ngàn năm vì tò mò, bất ngờ tạo ra phương thức truyền thông an toàn, giúp cho Internet trở nên hữu ích và riêng tư hơn nhiều. Nền tảng an ninh của Bitcoin và nhiều loại tiền mã hóa cũng được xây dựng dựa trên elliptic curve.

Khu vườn của Langlands

Một nhà toán học đã nói “Có thể viết không ngừng về elliptic curve”. Mặc dù chỉ mới tập chơi trò của Diophantus, tôi cũng có thể viết mãi. Tôi may mắn biết được bộ môn này cách đây hơn 10 năm, mới đầu vì công việc, còn giờ đã thành một thú vui có lẽ là trọn đời.

Ý tưởng của tôi về một cuối tuần tuyệt vời là nằm ườn trên sofa đọc một cuốn sách toán cũ hay nghe giảng bài qua YouTube. Có những cuốn tôi đã đọc 10 trang, trong 10 năm liên tục, đọc đến trang thứ 11 là ngất xỉu vì không hiểu.

Hồi tôi nghỉ Google ra làm riêng, cô bạn đồng nghiệp, tiến sĩ toán elliptic curve, tặng cho tôi một cuốn sách nhập môn hình học đại số (algebraic geometry). Thật ra tôi đã có cuốn này rồi, nó là một trong những cuốn “10 trang 10 năm” của tôi. Tôi đã cố gắng, mãi.

Thế rồi gần đây tự dưng tôi hiểu thêm được một chút. Ôi trời ơi, người cứ lâng lâng. Tôi đã hé nhìn được qua khe cửa hẹp trông vào một khu vườn bí mật. Khu vườn đó có tên là Langlands, đặt tên theo nhà toán học đã có viễn kiến thống nhất toán học, nơi mà các bài toán thiên niên kỷ cũng chỉ là trường hợp riêng. Có thể ít người biết Langlands, nhưng bổ đề cơ bản mà giáo sư Ngô Bảo Châu chứng minh cũng được “trồng” trong khu vườn này.

Tôi kể cho một người bạn nghe về niềm vui này, anh ấy nói tiếp cận với những công trình vĩ đại như vầy khiến anh ấy thấy mình nhỏ bé và bình tâm hơn trong cuộc sống hàng ngày. Đôi khi phiền muộn chỉ là do mình không biết mình đang ở đâu.

Ngoài việc học toán cho vui, nhìn lại sự nghiệp kỹ sư, tôi tin rằng khó làm tốt nếu không học toán. Tôi đã làm việc ở những tập đoàn công nghệ lớn nhất thế giới, chỗ nào cũng đầy ắp toán.

Gần đây công việc của tôi tăng đột biến. Những lúc rảnh rỗi hiếm hoi, tôi chỉ muốn học toán, thật sự chỉ để giải trí, nhưng ai dè nhiều khách hàng muốn mướn đội của tôi tư vấn, chỉ vì chúng tôi biết một chút toán. Tôi không bất ngờ, vì tôi đã thấy tầm ảnh hưởng âm thầm nhưng dữ dội của toán học, kéo dài suốt 18 thế kỷ. Và hôm nay bạn cũng đã thấy. Chào mừng đến với trò chơi!

Giáo sư (đứng) nghe giảng về một số vấn đề nâng cao trong chương trình Langlands.

Nếu bạn vẫn chưa ngủ gật thì phần tiếp theo là một món quà.

Tại sao elliptic curve lại mang tên như vậy, trong khi nhìn không giống ellipse? Điều thú vị là câu trả lời lại có liên quan đến ông tổ ngành Big Data và quỹ đạo các hành tinh.

Ông tổ Big Data

Ngoài Arithmetica, thế kỷ 16 còn chứng kiến sự trở lại của thuyết nhật tâm (heliocentrism). Tiếp nối các nhà thiên văn học Hy Lạp và Ấn Độ cổ đại, Copernicus cho rằng mặt trời, không phải trái đất, nằm ở trung tâm vũ trụ.

Ngày nay chúng ta xem trái đất xoay quanh mặt trời là chuyện hiển nhiên, nhưng mô hình thiên văn của Copernicus không được người đương thời chào đón. Phải đến đầu thế kỷ 18, với sự đóng góp to lớn của Tycho, Kepler và Galileo, thuyết nhật tâm mới được chấp nhận. Lịch sử đã nói nhiều về Galileo và Kepler, nhưng ít người biết về Tycho.

Tycho Brahe là một nhà thiên văn học lỗi lạc người Đan Mạch. Sinh ra trong một gia đình quý tộc, sống một đời ngang tàng và dành trọn sự nghiệp cho những vì sao, có thể nói ông là Elon Musk của thế kỷ 16.

Năm 13 tuổi, Tycho chứng kiến nguyệt thực toàn phần ngày 21/8/1560 và rất thích thú khi biết hiện tượng này đã được dự báo trước, mặc dù bị trễ một ngày. Tycho nhận ra rằng nếu có dữ liệu quan trắc tốt hơn thì việc dự báo sẽ chính xác hơn.

Năm 16 tuổi, khi quan sát sự giao hội của sao Mộc (Jupiter) và sao Thổ (Saturn), Tycho một lần nữa lại thấy nhiều sai sót của dữ liệu quan trắc lúc bấy giờ. Ông ấy bắt đầu tự thu thập dữ liệu.

Trong gần 40 năm tiếp theo, Tycho miệt mài quan sát và ghi nhận chi tiết sự chuyển động của các hành tinh. Ông cũng dành nhiều thời gian cải tiến công cụ và xây các đài thiên văn.

Kết quả là Tycho thu thập được một bộ dữ liệu quan sát thiên văn chính xác gấp nhiều lần những bộ dữ liệu cùng thời. Cho đến trước khi kính viễn vọng ra đời vào đầu thế kỷ 17, dữ liệu của Tycho là chính xác nhất.

Có thể nói không ngoa, Tycho là nhà khoa học dữ liệu (data scientist) đầu tiên trong lịch sử, ông tổ của ngành Big Data. Ngày nay tên của ông được đặt cho nhiều dự án liên quan đến thu thập và phân tích dữ liệu.

Quỹ đạo hành tinh

Mặc dù bộ dữ liệu của Tycho rất giá trị, nhưng để hiểu dữ liệu đang nói gì thì cần thêm một thiên tài khác: Kepler.

Có thể tóm tắt cuộc đời Kepler bằng nhận xét của Einstein, “Tay này rất thông minh”. Terence Tao bình luận rằng nếu Einstein cho rằng ta rất thông minh thì có lẽ cuộc đời ta cũng tạm ổn.

Kepler làm trợ lý cho Tycho. Tycho thấy quỹ đạo sao Hỏa (Mars) chệch khỏi dự đoán của các mô hình lúc bấy giờ, nên giao Kepler nhiệm vụ phân tích dữ liệu sao Hỏa.

Công việc của Kepler gặp nhiều khó khăn vì Tycho bảo vệ dữ liệu nghiêm ngặt, không cho phép Kepler sao chép để “work from home”. Kepler cũng ủng hộ hệ nhật tâm của Copernicus, trong khi Tycho muốn phát triển một mô hình khác.

Chỉ đến khi Tycho bất ngờ qua đời vào năm 1601, Kepler mới tiếp cận được nguồn dữ liệu quý giá. Có giai thoại cho rằng Kepler đã đầu độc Tycho bằng thủy ngân để trộm dữ liệu, nhưng các kết quả khám nghiệm tử thi Tycho vào năm 2012 cho thấy Tycho không bị đầu độc.

Từ dữ liệu Tycho để lại, Kepler đã phát hiện ba định luật lừng danh mang tên ông về chuyển động của các hành tinh. Định luật thứ nhất kết nối Kepler với Diophantus. Kepler phát hiện quỹ đạo các hành tinh không phải đường tròn, mà là đường ellipse.

Từ ellipse đến elliptic curve

Ellipse là một đường tròn biến dạng, dẹp hai đầu, giống hình oval. Nếu như đường tròn là tập hợp các điểm có cùng khoảng cách với tâm đường tròn, ellipse là tập hợp các điểm có cùng tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm (foci).

Đường ellipse được biểu diễn bằng một biểu thức bậc hai, trong khi elliptic curve là biểu thức bậc ba. Khi chiếu lên không gian ba chiều, ellipse tương đương với quả bóng, còn elliptic curve tương đương với bánh xe máy.

Tuy nhiên, elliptic curve có tên nghe giống ellipse vì elliptic curve có liên quan đến bài toán tính chu vi ellipse.

Ký ức toán học đầu tiên của tôi là được cô giáo tiểu học dạy cho công thức chu vi đường tròn 2 * π * r, trong đó r là bán kính. Nhưng tôi không thể nào nhớ nỗi công thức chu vi đường ellipse.

Bạn có nhớ không? Tôi đoán cũng không, vì công thức đó không tồn tại! Muốn tính chu vi ellipse thì phải tính một tích phân gọi là elliptic integral loại thứ hai, nhưng chỉ có cách tính gần đúng elliptic integral, chứ không có công thức (closed form).

Mặc dù không tính được elliptic integral, nhưng vào thế kỷ 18, Fagnano và Euler phát hiện ra cách cộng elliptic integral. Nghĩa là sao? Gọi elliptic integral là hàm f. Không ai tính được f(x) và f(y), nhưng có cách tính z, sao cho f(z) = f(x) + f(y). Quá lạ kỳ!

Đến thế kỷ 19, Jacobi cho thấy thuật toán cộng elliptic integral của Euler chính là phương pháp mà Diophantus đã dùng để giải phương trình y² = x³ - x + 9. Từ đó, Jacobi, Abel và Gauss đề xuất đảo ngược elliptic integral, tập trung vào elliptic function, là những hàm phức có hai chu kỳ.

Để rồi sau đó Clebsch, Eisenstein và Weierstrass chỉ ra rằng vấn đề cần nghiên cứu cũng không phải là elliptic function, mà là những đường cong bậc ba xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu tính chất của elliptic function. Họ gọi đó là elliptic curve.

Tóm lại: Tycho → Kepler → ellipse → elliptic integral → elliptic function → elliptic curve.

Cảm ơn M và VH đã đọc bản nháp của bài này. Cảm ơn thầy Dan Boneh đã kể cho tôi nghe câu chuyện này, cũng như truyền cho tôi nguồn cảm hứng vô tận về toán và mật mã học.

Tài liệu tham khảo

Thái | Hacker | Kỹ sư tin tặc

Trò chơi của Diophantus